Análisis de Armaduras Espaciales por el Método Matricial de Rigidez | Análisis Estructural

By: Dr. (c) En I. David Ortiz Soto and Ing. Hebert Luis Merma Taipe

I. Generalidades sobre el método matricial de la rigidez, DSM

DEFINICION:

El Método Matricial de Rigidez, también denominado Método Directo de la Rigidez (DSM) o Método de los Desplazamientos, es un método de cálculo para estructuras isostáticas o hiperestáticas con elementos que se comportan de forma elástica y lineal. Este método se considera como la implementación más sencilla del Método de Elementos Finitos, es útil para calcular el valor de los desplazamientos desconocidos y las reacciones en los soportes con base en la solución de la ecuación matricial de rigidez, y comúnmente está implementado en los programas profesionales de cálculo estructural.

FUNDAMENTO TEORICO:

Se considera a la estructura como un medio continuo.
Un sólido deformable es tratado de forma aproximada mediante un número finito de grados de libertad.
Se emplea la ecuación constitutiva de la elasticidad lineal, que es la Ley de Hooke.

DESCRIPCION DEL METODO:

Discretizar la estructura y efectuar una notación.
Calcular la matriz de rigidez de cada elemento en el sistema local y en el sistema global.
Ensamblar las matrices de rigidez de los elementos para obtener la matriz de rigidez global de la estructura, K.
Construir el vector de desplazamientos nodales, D.
Construir el vector de fuerzas nodales equivalentes, F.
Escribir el sistema de ecuaciones lineales con base en la ecuación matricial de rigidez F=KD.
Resolver el sistema de ecuaciones. Usualmente este es dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados:
- Subsistema 1. Se calculan los desplazamientos nodales desconocidos.
- Subsistema 2. Se calculan las reacciones en los soportes.
Se plantea una ecuación para calcular elementos mecánicos para cada elemento estructural.

II. Aplicación del DSM a Armaduras Tridimensionales

Matriz de rigidez en coordenadas locales para un determinado elemento i de una armadura, ecuación 1-1.

donde

𝐴 = área de la sección transversal del elemento
𝐸 = módulo de elasticidad del elemento
𝐿 = longitud del elemento

Cosenos directores, cos𝜃𝑥, cos𝜃𝑦 y cos𝜃z. ecuaciones 1-2, 1-3 y 1-4.

donde

Matriz de rigidez en coordenadas globales para un determinado elemento i de una armadura, ki, ecuación 1-4.

donde

𝐴 = área de la sección transversal del elemento
𝐸 = módulo de elasticidad del elemento
𝐿 = longitud del elemento
𝑁𝑥 , 𝑁𝑦 , 𝑁𝑦 = número de código del grado de libertad global asociado con el extremo cercano 𝑁 en las direcciones 𝑥 , 𝑦 y z respectivamente del elemento en turno
𝐹𝑥 , 𝐹𝑦 , 𝐹z = número de código del grado de libertad global asociado con el extremo lejano 𝐹 en las direcciones 𝑥 , 𝑦 y z respectivamente del elemento en turno
𝜆𝑥 , 𝜆𝑦 , 𝜆z = cosenos directores

Partición de la matriz de rigidez, K, en sub matrices (K₁₁ , K₁₂ , K₂₁y K₂₂), ecuación 1-5.

Vector de desplazamientos, D, ecuación 1-6.

donde D_Des el vector de desplazamientos desconocidos y D_C es el vector de desplazamientos conocidos.

Vector de cargas, C, ecuación 1-7.

donde C_Ces el vector de desplazamientos desconocidos y C_D es el vector de desplazamientos conocidos.

Ecuación matricial de la rigidez, ecuaciones 1-8 y 1-9.

Subsistemas, ecuaciones 1-10 y 1-11.

Atendemos al subsistema 1. Puesto que para esta armadura el vector de desplazamientos conocidos es un vector nulo dado que los soportes no se desplazan, D_C = 0. De ese modo, la ecuación 1 − 10 se reduce notablemente a

Desplazamientos desconocidos, ecuación 1-13.

Con base en el subsistema 2, se obtienen las cargas desconocidas (reacciones en los soportes), ecuación 1-14.

III. Ejemplo de aplicación empleando MATLAB y Excel

Instrucciones. Analizar la armadura mostrada en la figura empleando el Método Matricial de la Rigidez. Considere que todas las barras tienen una sección de 3cm x 3cm y que están hechas de acero con un módulo de elasticidad de 2.1*10⁷ ton/m²